Question

【題目】已知函數是偶函數.

（1）求實數的值；

（2）當時，函數存在零點，求實數的取值范圍；

（3）設函數，若函數與的圖像只有一個公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）函數是偶函數, 所以得出值檢驗即可；（2）因為時，存在零點，即關于的方程有解，求出的值域即可；（3）因為函數與的圖像只有一個公共點，所以關于的方程有且只有一個解，所以，換元，研究二次函數圖象及性質即可得出實數的取值范圍.

（1）因為是上的偶函數，

所以，即

解得，經檢驗：當時，滿足題意.

（2）因為，所以

因為時，存在零點，

即關于的方程有解，

令，則

因為，所以，所以，

所以，實數的取值范圍是.

（3）因為函數與的圖像只有一個公共點，

所以關于的方程有且只有一個解，

所以

令，得 （*），記，

①當時，方程（*）的解為，不滿足題意，舍去；

②當時，函數圖像開口向上，又因為圖像恒過點，方程（*）有一正一負兩實根，所以符合題意；

③當時，且時，解得，

方程（*）有兩個相等的正實根，所以滿足題意.

綜上，的取值范圍是.