Question

【題目】己知函數．

(1)證明：當恒成立；

(2)若函數恰有一個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或

【解析】

（1）令，要證在上恒成立，只需證，；

（2）函數，定義域為，．對a分類討論，研究函數的單調性及最值，以確定圖象與x軸的交點情況.

（1）證明：令，

要證在上恒成立，

只需證，，

因為，

所以.

令，

則，

因為，所以，

所以在上單調遞增，

所以，即，

因為，所以，所以，

所以在上單調遞增，

所以，，

故在上恒成立.

（2）函數，定義域為，

．

①當時，無零點.

②當時，，所以在上單調遞增，

取，則，（或：因為且時，所以．）

因為，所以，此時函數有一個零點．

③當時，令，解得．

當時，，所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增．

所以 .

若，即時，

取，，即函數在區間上存在一個零點；

當時，因為，所以，

則有，，必然存在 ，使得，即函數在區間存在一個零點；

故當時，函數在上有兩個零點，不符合題意.……11分

所以當時，要使函數有一個零點，必有，

即．

綜上所述，若函數恰有一個零點，則或.