Question

【題目】已知復數z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且 ．
（1）若復數z1對應的點M（m，n）在曲線 上運動，求復數z所對應的點P（x，y）的軌跡方程；
（2）將（1）中的軌跡上每一點按向量 方向平移 個單位，得到新的軌跡C，求C的軌跡方程；
（3）過軌跡C上任意一點A（異于頂點）作其切線，交y軸于點B，求證：以線段AB為直徑的圓恒過一定點，并求出此定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ i﹣z2=（m﹣ni）i﹣（2+4i）=（n﹣2）+（m﹣4）i；

∴ ．

∵復數z1對應的點M（m，n）在曲線 上運動

∴x+2=﹣ （y+7）2﹣1（y+7）2=﹣2（x+3）．

復數z所對應的點P（x，y）的軌跡方程：（y+7）2=﹣2（x+3）．

（2）解：∵按向量 方向平移 個單位， = =1× ．

即為向 x 方向移動 1× = 個單位，向 y 方向移動 1×1=1 個單位

（y+7）2=﹣2（x+3）y+7=± ．

得軌跡方程 y+7=± （y+6）2=﹣2（x+ ）=﹣2x﹣3．

C的軌跡方程為：（y+6）2=﹣2x﹣3．

（3）解：設A（x0，y0），斜率為k，切線y﹣y0=k（x﹣x0） （k≠0），

代入（y+6）2=﹣2x﹣3整理得：

（y+6）2=﹣2（ ）﹣3，△=0k= ，

設定點M（1，0），且 ．

∴以線段AB為直徑的圓恒過一定點M，M點的坐標（1，0）．

【解析】（1）根據復數條件求出關系式 ，結合復數z1對應的點M（m，n）在曲線 上運動即可得出復數z所對應的點P（x，y）的軌跡方程；（2）先按向量 方向平移 個單位得到即為向 x 方向移動 1× = 個單位，向 y 方向移動 1×1=1 個單位，再進行函數式的變換即可得出C的軌跡方程；（3）設A（x0，y0），斜率為k，切線y﹣y0=k（x﹣x0） 代入（y+6）2=﹣2x﹣3消去x得到關于y的一元二次方程，再結合根的判別式為0利用向量的數量即可求得定點，從而解決問題．