Question

已知圓（x-3）²+（y+4）²=4和直線y=kx相交于P，Q兩點，O為坐標原點，則|OP|•|OQ|的值為（　　）

• A．

  21

  1+k2

• B．1+k²
• C．4
• D．21

Answer 1

分析：設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），將直線方程與圓的方程聯解消去y，整理得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系算出x₁x₂用k表示的式子，進而得到y₁y₂用k表示的式子，再利用向量數量積公式加以計算，可得答案．

解答：解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

(x-3)2+(y+4)2=4 y=kx

消去y，整理得（k²+1）x²+（8k-6）x+21=0，
∴x₁+x₂=

-8k+6

k2+1

，x₁x₂=

21

k2+1

．
由此可得y₁y₂=kx₁•kx₂=k²x₁x₂，
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂=（1+k²）•

21

k2+1

=21．
∵

OP

與

OQ

共線同向，∴|OP|•|OQ|=

OP

•

OQ

=21．
故選：D

點評：本題考查了直線與圓的關系、平面向量數量積的運算及其性質，屬于中檔題．同時考查了數學轉化思想和整體運算思想，在直線和圓的交點問題常采用設而不求的方法，使問題迎刃而解．