Question

【題目】若數列滿足條件：存在正整數，使得對一切，都成立，則稱數列為級等比數列；

（1）已知數列為2級等比數列，且前四項分別為、、、，求的值；

（2）若（為常數），且數列是3級等比數列，求所有可能的值，并求取最小正值時數列的前項和；

（3）證明：正數數列為等比數列的充要條件是數列既為2級等比數列，也為3級等比數列；

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3）證明詳見解析.

【解析】

（1）利用定義，求出、，即可求的值；

（2）根據 是3級等比數列，列出方程，即可求所有可能值的集合，從而求取最小正值時數列的前項和；

（3）根據數列為級等比數列的定義，分充分性與必要性進行證明即可．

（1）解：由題意，

，

，

，

.

（2）解：是3級等比數列，

，

，

，

整理為： ，

即 ，，

，

的最小正值是，

此時， ，

，， ，

，

，

，

……..

（3）必要性：若為等比數列，則，

對一切成立，顯然對成立．

既為2級等比數列，也為3級等比數列．

充分性：若為2級等比數列，，則，均成等比數列，

設等比數列，的公比分別為，

為3級等比數列，，則 成等比數列，設公比為

既是中的項，也是中的項，

，既是中的項，也是中的項，

，

，

設，則

，

，，

又， ，

， ，，

， ，

綜合得：,顯然為等比數列．