Question

函數(shù)f（x）=-x³-x+sinx，當(dāng)θ∈（0，

π

2

）時，恒有f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0成立，則實數(shù)m的取值范圍（　　）

• A、（-∞，

  1

  2

  ）
• B、（-∞，

  1

  2

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，+∞）
• D、[-

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：確定函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，化抽象不等式為具體不等式，分離參數(shù)，利用斜率，即可求出實數(shù)m的取值范圍

解答： 解：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且f′（x）=-3x²-1+cosx≤0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
故f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0⇒2m（1-sinθ）＞-1-sin²θ，
當(dāng)θ∈(0，

π

2

)時，2m＞

sin2θ+1

sinθ-1

，

sin2θ+1

sinθ-1

可以視為（sinθ，sin²θ），（1，-1）兩點的直線斜率，
而（sinθ，sin²θ）在曲線y=x²，x∈（0，1），可知

sin2θ+1

sinθ-1

＜-1，
故2m≥-1⇒m≥-

1

2

．
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)的圖象及其恒成立問題、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．