Question

（2012•蚌埠模擬）某同學對函數f（x）=xcosx進行研究后，得出以下四個結論：
①函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②對任意實數x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等；
④函數y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等；
其中所有正確結論的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①判定函數為奇函數，可得函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②對任意實數x，|f（x）|=|xcosx|≤|x|；
③令f（x）=xcosx=0，可求方程的解，從而可得函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離不相等；
④令f（x）=xcosx=x，可求方程的解，從而可得函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等．

解答：解：①以-x代x，可得f（-x）=（-x）cos（-x）=-xcosx=-f（x），∴函數為奇函數，∴函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，故①正確；
②對任意實數x，|f（x）|=|xcosx|≤|x|，∴對任意實數x，|f（x）|≤|x|均成立，故②成立；
③令f（x）=xcosx=0，∴x=0或cosx=0，∴x=0或x=kπ+

π

2

，（k∈Z），故函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離不相等，故③不成立；
④令f（x）=xcosx=x，∴cosx=1，∴x=0或x=kπ，（k∈Z），故函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等，故④成立；
故正確結論的序號是①②④．

點評：本題考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．