Question

【題目】已知點，分別在軸，軸上運動，，點在線段上，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線與交于，兩點，，若直線，的斜率之和為2，直線是否恒過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點

【解析】

（1）設，由此得出兩點的坐標，根據列方程，化簡后求得點的軌跡方程.

（2）設，，當直線斜率存在時，設直線的方程為，聯立直線方程和軌跡的方程，寫出判別式和韋達定理，根據直線，的斜率之和為2列方程，求得的關系式，由此判斷直線過點.當直線斜率不存在時，同樣利用直線，的斜率之和為2列方程，由此求得直線的方程，此時直線也過點，由此判斷出直線恒過定點.

（1）設，

因為點在線段上，且，所以，，

因為，所以，即，

所以點的軌跡的方程為.

（2）設，，

當的斜率存在時，設：，

由得，

所以，即，

，，

因為直線，的斜率之和為2，所以，

所以，即，所以，

當時，滿足，即，符合題意，

此時：恒過定點，

當的斜率不存在時，，，

因為直線，的斜率之和為2，所以，

所以，此時：，恒過定點，

綜上，直線恒過定點.