Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，直線：與拋物線交于，兩點.

（1）若，求直線的方程；

（2）過點作直線交拋物線于，兩點，若線段，的中點分別為，，直線與軸的交點為，求點到直線與距離和的最大值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）直線方程和拋物線方程聯立，可得由利用韋達定理求得即可得出結果.

（2）由（1）中韋達定理可求得點坐標為，直線，且均過焦點為，可求，進而求得直線的方程，得到的坐標為（3，0），設點到直線和的距離分別為，，由利用基本不等式性質，即可求得結果.

解：（1）由已知得，

直線:與聯立消，得.

設，，則，.

由，得，

即，得，

所以或.

所以直線的方程為或

（2）由（1）知，所以，所以.

因為直線過點且，所以用替換得.

當時，:，

整理化簡得，

所以當時，直線過定點（3，0）；

當時，直線的方程為，過點（3，0）.

所以點的坐標為（3，0）

設點到直線和的距離分別為，，由，，得.

因為，所以，當且僅當時，等號成立,

所以點到直線和的距離和的最大值為.