Question

已知奇函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減．且f（2）=0，則不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集為

{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}

．

Answer 1

分析：先根據函數f（x）的奇偶性以及函數在區間（-∞，0）上的單調性，判斷函數在區間（0，+∞）的單調性，再把不等式（x-1）f（x-1）＞0變形為兩個不等式組，根據函數的單調性分情況解兩個不等式組，所得解集求并集即可．

解答：解：∵函數f（x）為奇函數且在（-∞，0）上單調遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上也單調遞減，
∴（x-1）f（x-1）＞0可變形為

x-1＞0 f(x-1)＞0

  ①或

x-1＜0 f(x-1)＜0

  ②
又∵函數f（x）為奇函數且f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0
∴不等式組①的解為

x-1＞0 x-1＜2

，即1＜x＜3；
不等式組①的解為

x-1＜0 x-1＞-2

，即-1＜x＜1
∴不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集為{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}
故答案為{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}

點評：本題主要考查綜合運用函數的單調性與奇偶性解不等式，做題時不要忘記考慮函數在區間（0，+∞）的單調性，研究此類題最好作出函數圖象輔助判斷