Question

已知奇函數f（x）在x≥0時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分，
（1）求函數f（x）的表達式，
（2）寫出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先由二次函數的圖象求得當x≥0時的解析式，再利用奇偶性求得對稱區間上的解析式，從而求得整個定義域上的解析式．（2）通過圖象可知y軸右側部分的單調區間，然后利用奇函數在對稱區間上的單調性相同，得到整個定義域上的單調區間．

解答：解：（1）如圖所示：
當x≥0時，設f（x）=a（x-1）²-2，
又f（0）=0，得a=2，
即f（x）=2（x-1）²-2
當x＜0時，-x＞0，
∵f（x）是奇函數
∴f（x）=-f（-x）=-[2（-x-1）²-2]=-2（x+1）²+2
所以f（x）=

2(x-1)2-2    x≥0 -2(x+1)2+2 x＜0

（3）如圖所示：
單調遞增區間是：（-∞，-1]，[1，+∞）
單調遞減區間是：[-1，1]．

點評：本題主要考查對稱區間上的解析式的求法和單調性問題．