Question

下面四個(gè)命題：
①已知函數(shù)f(x)=

x  ，x≥0  -x  ，x＜0

且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②一組數(shù)據(jù)18，21，19，a，22的平均數(shù)是20，那么這組數(shù)據(jù)的方差是2；
③已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（-1）=0，則不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1}；
④在極坐標(biāo)系中，圓ρ=-4cosθ的圓心的直角坐標(biāo)是（-2，0）．
其中正確的是

②，④

．

Answer 1

分析：①注意分段函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的解析式不同，因此要討論．②利用平均數(shù)公式先求出a，進(jìn)而再利用方差的公式計(jì)算即可．
③根據(jù)題意畫出圖象即可求解．④利用極坐標(biāo)與普通方程的互化公式即可求出．

解答：解：①∵f（a）+f（4）=4，f（2）=

4

=2，∴f（a）=2．當(dāng)a≥0時(shí)，則f（a）=

a

，∴

a

=2，∴a=4；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（a）=

-a

，∴

-a

=2，∴a=-4．綜上可知，a=±4．故①不正確．
②∵數(shù)據(jù)18，21，19，a，22的平均數(shù)是20，∴（18+21+19+a+22）÷5=20，解得a=20．
∴方差s²=

1

5

×[(-2)2+12+(-1)2+02+22]=2，故②正確．
③如圖所示，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵f（-1）=0，∴f（1）=-f（-1）=0，f（0）=0，∴不等式f（x）＜0的解集為{x|x＜-1，或0＜x＜1}．故③不正確．
④由圓ρ=-4cosθ，∴ρ²=-4ρcosθ，即x²+y²+4x=0，∴（x+2）²+y²=4，∴圓ρ=-4cosθ的圓心的直角坐標(biāo)是（-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式、平均數(shù)與方差等內(nèi)容，深刻理解以上內(nèi)容是解決問題的關(guān)鍵．①