Question

【題目】已知點列An（xn ， 0），n∈N* ， 其中x1=0，x2=1．A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，…，An+2是線段AnAn+1的中點，…設an=xn+1﹣xn ． （Ⅰ）寫出xn與xn﹣1、xn﹣2（n≥3）之間的關系式并計算a1 ， a2 ， a3；
（Ⅱ）猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， ． （Ⅱ）猜想
證明：①當n=1時，a1= =1
∴當n=1時， 成立．
②假設當n=k時 成立．
則當n=k+1時， = ，
∴當n=k+1時，公式成立．
綜上①②得，對任意n∈N* ， 公式 成立
【解析】（Ⅰ）根據題意，An是線段An﹣2An﹣1的中點，可得xn與xn﹣1、xn﹣2之間的關系式，并令n=1，2，3求出答案即可．（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，猜想的通{an}項公式，用數學歸納法的證明步驟直接證明即可．
【考點精析】掌握數學歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．