Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）如果，在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當時， 的單調遞增區間為；當時， 的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，分別計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅲ）如果在上恒成立，即在恒成立，根據函數的單調性求出a的范圍即可

試題解析：

（Ⅰ）時， ， ，

故， ，

故切線方程是： ，即；

（Ⅱ），

①當時，由于，得： ， ，

所以的單調遞增區間為，

②當時， ，得，

在區間上， ，

在區間上， ，

所以的單調遞增區間為，

單調遞減區間為；

（Ⅲ）如果在上恒成立，

即在恒成立，

令， ，

，

令，解得： ，

令，解得： ，

故在遞增，在遞減，

故，

故．