Question

【題目】已知拋物線y2=4x，點M（1，0）關于y軸的對稱點為N，直線l過點M交拋物線于A，B兩點．
（1）證明：直線NA，NB的斜率互為相反數；
（2）求△ANB面積的最小值；
（3）當點M的坐標為（m，0），（m＞0且m≠1）．根據（1）（2）推測：△ABC面積的最小值是多少？（不必說明理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：設直線l的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），

由 ，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ．

即有（y1y2）2=16x1x2=16，

可得y1y2=﹣4，N（﹣1，0），

kNA+kNB= + = + =

= =0．

又當l垂直于x軸時，點A，B關于x軸，顯然kNA+kNB=0，即kNA=﹣kNB．

綜上，直線NA，NB的斜率互為相反數

（2）解：S△ABN= |MN||y1﹣y2|=|y1﹣y2|

= = = ．

當l垂直于x軸時，S△NAB=4，即有△ABN面積的最小值等于4

（3）解：推測：△ANB面積的最小值為4m
【解析】（1）設直線l的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入拋物線的方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點滿足拋物線的方程，化簡整理，討論直線l的斜率不存在，即可得證；（2）求得S△ABN= |MN||y1﹣y2|，代入韋達定理，由不等式的性質可得△ANB面積大于4；討論直線的斜率不存在時，面積為4，即可得到最小值；（3）由（1），（2）推測：△ANB面積的最小值為4m ．