Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（I）若A，B兩點的縱會標分別為 的值；
（II）已知點C是單位圓上的一點，且 的夾角θ．

Answer 1

【答案】解：（I）根據三角函數的定義，得sinα= ，sinβ= ．由α是銳角，所以，cosα= ． 由β為鈍角可得 cosβ=﹣ ．
所以，cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=（﹣ ）× + = ．
（II）已知點C是單位圓上的一點，且 ， ，
設 的夾角為θ，0≤θ≤π，則有 = ．
展開化簡可得 =﹣ ．
可得cosθ= = =﹣ ，從而可得 θ= ．
【解析】（I）根據三角函數的定義，求得sinα= ，sinβ= ．由α是銳角、β為鈍角可得cosα、cosβ的值，利用兩角和與差的余弦公式求得cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα的值．（II）由題意可得 ，設 的夾角為θ，0≤θ≤π，則有 = ．求出 的值，再利用兩個向量的夾角公式求出cosθ，可得θ的值．