Question

【題目】已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的右焦點F（1，0），右準線l：x=4．圓C2：x2+y2=b2．A、B為橢圓上不同的兩點，AB中點為M．

（1）求橢圓C1的方程；

（2）若直線AB過F點，直線OM交l于N點，求證：NF⊥AB；

（3）若直線AB與圓C2相切，求原點O到AB中垂線的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）=1（2）見解析（3）

【解析】

（1）由橢圓的右焦點和右準線得到關于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標準方程；（2）設AB：x=my+1，聯立直線AB方程和橢圓方程求出點M的坐標和點N的坐標，再計算得kNFkAB=-1，即得NF⊥AB；（3）設AB：x=my+n，求出AB中垂線方程為mx+y-=0，再求出O到AB中垂線的距離，再利用基本不等式求最大距離.

解：（1）橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的右焦點F（1，0），右準線l：x=4．

∴，

解得a=2，b=，

∴橢圓C1的方程為=1．

（2）由題意，AB的斜率不為0，故設AB：x=my+1，

聯立，得（3m2+4）y2+6my-9=0，

由題意得△＞0，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則y1+y2=-，y1y2=-，∴M（），

所以OM方程為y=-，

∴N（4，-3m），又F（1，0），∴kNF=-m，

∵kNFkAB=-m=-1，∴NF⊥AB，

當m=0時，NF⊥AB，

綜上，NF⊥AB．

（3）C2：x2+y2=3，設AB：x=my+n，

與圓C2相切，得=，

與=1聯立，得（3m2+4）y2+6mny+3n2-12=0，

M（），

所以AB中垂線方程為：y+=-m（x-），即mx+y-=0，

所以O到其距離d==≤=，

當3|m|=，即m=時，取等號．

綜上，點O到AB的中垂線的最大距離為．