Question

某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據統計資料預測，今年汛期甲河流發生洪水的概率為0.25，乙河流發生洪水的概率為0.18(假設兩河流發生洪水與否互不影響)．現有一臺大型設備正在該地工作，為了保護設備，施工部門提出以下三種方案：
方案1：運走設備，此時需花費4000元；
方案2：建一保護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵御一個河流發生的洪水，當兩河流同時發生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；
方案3：不采取措施，此時，當兩河流都發生洪水時損失達60000元，只有一條河流發生洪水時，損失為10000元．
(1)試求方案3中損失費X(隨機變量)的分布列；
(2)試比較哪一種方案好．

Answer 1

(1) X的分布列為

X	10000	60000	0
P	0.34	0.045	0.615

(2) 方案2最好，方案1次之，方案3最差

解：(1)在方案3中，記“甲河流發生洪水”為事件A，“乙河流發生洪水”為事件B，則P(A)＝0.25，P(B＝0.18)，所以有且只有一條河流發生洪水的概率為P(A·＋·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.34，兩河流同時發生洪水的概率為P(A·B)＝0.045，都不發生洪水的概率為P(·)＝0.75×0.82＝0.615，設損失費為隨機變量X，則X的分布列為

X	10000	60000	0
P	0.34	0.045	0.615

(2)對方案1來說，花費4000元；對方案2來說，建圍墻需花費1000元，它只能抵御一條河流的洪水，但當兩河流都發生洪水時，損失約56000元，而兩河流同時發生洪水的概率為P＝0.25×0.18＝0.045.所以，該方案中可能的花費為1000＋56000×0.045＝3520(元)．
對于方案3：損失費的數學期望為
E(X)＝10000×0.34＋60000×0.045＝6100(元)，
比較可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差.