Question

【題目】已知圓經過變換后得曲線.

（1）求的方程；

（2）若為曲線上兩點， 為坐標原點，直線的斜率分別為且，求直線被圓截得弦長的最大值及此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線被圓： 截得弦長的最大值為，

此時，直線的方程為．

【解析】試題分析：（1）根據轉移法求軌跡方程：將代入得，化簡可得（2）先根據斜率公式表示為，再聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理可得，由垂徑定理得圓心到直線的距離最小時，弦長最大，而，因此當時，弦長最大，可得此時直線的方程.

解：（Ⅰ）將代入得，

化簡得，

即為曲線的方程．

（Ⅱ）設， ，直線與圓： 的交點為．

當直線軸時， ，

由得或

此時可求得．

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，

聯立消得，

， ， ，

所以 ，

由得， ，

此時．

圓： 的圓心到直線的距離為，

所以，

得，

所以當時， 最大，最大值為，

綜上，直線被圓： 截得弦長的最大值為，

此時，直線的方程為．