Question

【題目】已知三棱柱ABC﹣A′B′C′，側棱與底面垂直，且所有的棱長均為2，E為AA′的中點，F為AB的中點． （Ⅰ）求多面體ABCB′C′E的體積；
（Ⅱ）求異面直線C'E與CF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A′B′C′的體積V= =2 ． 三棱錐E﹣A′B′C′的體積V1= A′E= = ．
∴多面體ABCB′C′E的體積=V﹣V1= ；
（Ⅱ）如圖所示，取A′B′的中點D，連接C′D，DF，DE．

可得四邊形CFDC′是矩形．
∴C′D∥CF．
∴∠EC′D即是異面直線C′E與CF所成角．
在Rt△C′DE中，C′D= ，C′E= ．
∴cos∠EC′D= = = ．
∴異面直線C′E與CF所成角的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）分別求出直三棱柱ABC﹣A′B′C′的體積V．三棱錐E﹣A′B′C′的體積V1 ． 即可得出多面體ABCB′C′E的體積=V﹣V1；（Ⅱ）如圖所示，取A′B′的中點D，連接C′D，DF，DE．可得四邊形CFDC′是矩形．C′D∥CF．因此∠EC′D即是異面直線C′E與CF所成角．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．