Question

在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，已知b=2，∠B=

π

3

．
（1）若c=2a，求面積S；
（2）求△ABC的周長l及面積S的范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理和a與c的關系，求得a和c，最后利用面積公式求得答案．
（2）利用余弦定理建立關于a和c的關系式，利用基本不等式分別求得ac和a+c的范圍，進而求得三角形面積和周長的范圍．

解答： 解：（1）由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-4

4a2

=

1

2

，
∴a=

2 3

3

，
∴c=

4 3

3

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×

2 3

3

×

4 3

3

×

3

2

=

2 3

3

．
（2）由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-4

2ac

=

1

2

，整理得（a+c）²=2ac+4，
∵（a+c）²≥4ac，ac≤

(a+c)2

4

∴2ac+4≥4ac，即ac≤2；

(a+c)2-4

2

≤

(a+c)2

4

，即（a+c）²≤8，a+c≤2

2

，
∴S=2acsinB=

3

ac≤2

3

，l=a+b+c=a+b+2≤2+2

2

，
∴△ABC的周長的范圍（0，2+2

2

]，面積的范圍（0，2

3

]．

點評：本題主要考查了余弦定理的運用，基本不等式的基礎知識．考查了學生分析和推理的能力．