Question

【題目】已知函數，且函數奇函數而非偶函數.

（1）寫出的單調性（不必證明）；

（2）當時，的取值范圍恰為，求與的值；

（3）設是否存在實數使得函數有零點？若存在，求出實數的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當，函數在單調遞增，當，函數在單調遞減；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據奇偶性求出，即可分析函數的單調性；

（2）根據函數單調性，結合值域分析參數的取值；

（3）利用換元法和分離參數，結合二次函數的值域問題求解.

（1）由題：函數，且函數奇函數而非偶函數.

必有，，可得：,

即，解得或-2

當時，，滿足題意；

當時，，不滿足題意；

由得函數定義域，

所以

當，函數在單調遞增，當，函數在單調遞減；

（2）由（1），，

，所以，

令，=1，，所以，

當時，，所以

由（1）函數在單調遞增，

時，的取值范圍恰為，必有，與題矛盾不合題意；

當時，，此時在單調遞減，

所以當時，的取值范圍恰為，

由題：，解得：

所以當時，的取值范圍恰為，

則；

（3）即，

存在實數使得函數有零點，

即在有零點，

令，

問題轉化為：在有實數根，

若顯然不成立；

所以，方程變形為在有實數根，

看成函數在的值域問題，，

根據二次函數性質可得：，

所以實數m的取值范圍.