【題目】已知橢圓
的離心率為
，且與雙曲線
有相同的焦點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與橢圓相交于
，
兩點，點
滿足
，點
，若直線
斜率為
，求
面積的最大值及此時直線的方程.
【答案】（1）
（2）
，直線的方程為
【解析】
(1)有題意有
可求解.
(2)先討論特特殊情況, 
是否為原點，然后當
的斜率存在時, 設的斜率為
,表示出
的長度，進一步表示出
的面積,然后求最值.
解：（1）由題設知
，
橢圓的方程為：
（2）法一：
為的中點
又
1）當為坐標原點時
當的斜率不存在時，此時
、
為短軸的兩個端點
當的斜率存在時，設的斜率為
設
，
，則
，代入橢圓方程
整理得：
，
到的距離
解一：令
令
或
函數
在
單調遞增，
單調遞減，
單調遞增
時，
為的極大值點，也是最大值點
直線方程為
解二：設
，則
要得
的最大值
，
當
，
時，即
，
時等號成立
，直線方程為
2）當不為原點時，由
，
，
，三點共線
，設，，
，
的斜率為
，
，
，在橢圓上，
得
，即
設直線
代入橢圓方程，整理得
，
到直線的距離
令
，
，
令
，
，
，
在
上單調遞增，在
上單調遞減
，
，此時直線
綜上所述：，直線的方程為
解二：設，，為的中點，在橢圓上
當直線的斜率不存在時，設
則
，
， 所以
，則，為短軸上的兩個端點
當直線的斜存在時，設
，
消去
得
, 
，
由
得
或
下同解法一
能力評價系列答案
唐印文化課時測評系列答案
導學與測試系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），曲線
的參數方程為
（
為參數），曲線與
軸交于
兩點.以坐標原點
為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求直線的普通方程及曲線的極坐標方程；
（2）若直線與曲線
在第一象限交于點
，且線段
的中點為
，點
在曲線上，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求f（0）及f（f（1））的值；
（2）求函數f（x）的解析式；
（3）若關于x的方程f（x）﹣m＝0有四個不同的實數解，求實數m的取值范圍，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知命題
：函數
且
，命題
：集合
，
且
.
（1）若命題
中有且僅有一個為真命題，求實數
的取值范圍；
（2）設皆為真命題時，的取值范圍為集合
，已知
，若
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年來，我國自主研發的長征系列火箭的頻頻發射成功，標志著我國在該領域已逐步達到世界一流水平.火箭推進劑的質量為
，去除推進劑后的火箭有效載荷質量為
，火箭的飛行速度為
，初始速度為
，已知其關系式為齊奧爾科夫斯基公式：
，其中
是火箭發動機噴流相對火箭的速度，假設
，
，
，
是以
為底的自然對數，
，
.
（1）如果希望火箭飛行速度分別達到第一宇宙速度
、第二宇宙速度
、第三宇宙速度
時，求的值（精確到小數點后面1位）.
（2）如果希望達到，但火箭起飛質量最大值為
，請問的最小值為多少（精確到小數點后面1位）？由此指出其實際意義.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，且函數
奇函數而非偶函數.
（1）寫出
的單調性（不必證明）；
（2）當
時，的取值范圍恰為
，求
與
的值；
（3）設
是否存在實數
使得函數
有零點？若存在，求出實數的值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
市某機構為了調查該市市民對我國申辦
年足球世界杯的態度，隨機選取了
位市民進行調查，調查結果統計如下：
支持 | 不支持 | 合計 | |
男性市民 |
| ||
女性市民 |
| ||
合計 |
|
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（1）根據已知數據，把表格數據填寫完整；
（2）利用（1）完成的表格數據回答下列問題：
（i）能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為支持申辦足球世界杯與性別有關；
（ii）已知在被調查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有
位退休老人，其中
位是教師，現從這位退休老人中隨機抽取
人，求至多有
位老師的概率.
附：
，其中
.
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