Question

【題目】已知函數，其中為實數.

（1）若曲線在點處的切線方程為，試求函數的單調區間；

（2）當，，且時，若恒有，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）.

【解析】試題分析：由題意點處的切線方程為，求出的值，繼而求出函數的單調性利用單調性將問題中的絕對值去掉，構造新函數來證明結論。

解析：（1）函數的定義域為，

，，可知.

.

當，即時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）函數

.

令，，

當時，可知，

故恒成立，

可知，在區間上為單調遞增函數，

不妨設，且，

則變為，

即，

設函數

，

由，得在時為單調遞減函數，即，

即，

也即對與恒成立.

因為，可知時，取最大值，

即 .

對時恒成立，

由，可知，

即取值范圍為.