Question

【題目】已知集合D＝{（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2＝k}（其中k為正常數）．

（1）設，求的取值范圍

（2）求證：當時，不等式對任意恒成立

（3）求使不等式對任意恒成立的的范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）利用基本不等式，其中和為定值，積有最大值；

（2）結合（1）中的范圍直接將左邊展開，利用u在上單調遞增即可比較；

（3）結合（2）將（3）轉化為求使對恒成立的的范圍，利用函數的單調性解決，或者作差法求解．

（1），當且僅當時等號成立，

故u的取值范圍為．

（2）

由，又k≥1，k2﹣1≥0，

∴f（u）＝u在上是增函數

所以

即當k≥1時不等式成立．

（3）

記，

則，

即求使對恒成立的k2的范圍．

由（2）知，要使

對任意（x1，x2）∈D恒成立，必有0＜k＜1，

因此1﹣k2＞0，

∴函數在上遞減，在上遞增，

要使函數f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2﹣16≤0，

解得．