Question

【題目】已知幾何體P﹣ABCD如圖，面ABCD為矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB為正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分別為AC、BP中點，
（Ⅰ）求證：EF∥面PCD；
（Ⅱ）求直線BP與面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結BD，
∵四邊形ABCD是矩形，E是AC的中點，
∴E是BD的中點．又F是BP的中點，
∴EF∥PD，又EF平面PCD，PD平面PBD，
∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）取AP的中點H，連結HB，HC，過B作BO⊥HC于O，連結OP．
∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∵AP平面PAB，
∴BC⊥AP，
∵△PAB是等邊三角形，∴AP⊥HB，
又BC平面BCH，BH平面BCH，BC∩BH=B，
∴AP⊥平面BCH，又OB平面BCH，
∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH平面PAC，AP平面PAC，CH∩AP=H，
∴OB⊥平面PAC．
∴∠BPO為PB與平面PAC所成的角．
∵AB=2，BC=1，∴BH= ，CH= =2，
∴BO= = ，
∴sin∠BPO= = ．
即直線BP與面PAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）連結BD，則E為BD的中點，利用中位線定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（Ⅱ）取AP的中點H，連結HB，HC，過B作BO⊥HC于O，連結OP．則可證AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，結合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO為PB與平面PAC所成的角．利用勾股定理計算BH，CH，OB，得出sin∠BPO= ．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．