Question

【題目】中心在原點，焦點在軸上的橢圓，下頂點，且離心率.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）經過點且斜率為的直線交橢圓于， 兩點.在軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點滿足題意.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設橢圓方程為 ，由已知得 ， ，又 可得橢圓的標準方程，
（Ⅱ）假設存在定點P（m，0）滿足條件，設， ，直線方程為，由 消去y整理得， ，根據韋達定理及 得 即可求出點坐標．

試題解析：（Ⅰ）設橢圓方程為

由已知得 ， ，又，

則橢圓方程為

（Ⅱ）假設存在，設，設， ，直線方程為，代入橢圓方程，得，

因此， ，

由得，即，

∴

∴

由于對任意恒成立，因此

∴恒成立

∴恒成立

即恒成立，因此

綜上，存在點滿足題意.