Question

【題目】定義在上的函數同時滿足以下條件：①在上是減函數，在上是增函數；②是偶函數；③在處的切線與直線垂直.

（1）取函數的解析式；

（2）設，若存在實數，使，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）根據在上是減函數，在上增函數，得，

根據是偶數可求出，最后根據在處的切線與直線垂直，建立關系式即可求解函數的解析式；

（2）分類參數，令，則，再設，得到，進而得到函數的單調性和最值，即可求解實數的取值范圍.

因為，所以，即在上遞減，

試題解析：

（1），因為在上是減函數，在上增函數，

所以，由是偶函數得，

又在處的切線與直線垂直，所以 .

解得，即.

（2）由已知的存在實數，使，

即存在，使，

設，則，

設，則，

因為，所以，即在上遞減，

于是，即，即，

所以在上遞減，所以，

故的取值范圍為.