Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=1﹣ ．

當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣ （x＞0），

因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，

所以曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），

即x+y﹣2=0

（2）解：由f′（x）=1﹣ = ，x＞0知：

①當a≤0時，f′（x）＞0，函數f（x）為（0，+∞）上的增函數，函數f（x）無極值；

②當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=a．

又當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0．

從而函數f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無極大值．

綜上，當a≤0時，函數f（x）無極值；

當a＞0時，函數f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無極大值

【解析】（1）把a=2代入原函數解析式中，求出函數在x=1時的導數值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；（2）求出函數的導函數，由導函數可知，當a≤0時，f′（x）＞0，函數在定義域（0，+∝）上單調遞增，函數無極值，當a＞0時，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，利用原函數的單調性得到函數的極值．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．