Question

如圖，橢圓與橢圓中心在原點，焦點均在軸上，且離心率相同．橢圓的長軸長為，且橢圓的左準線被橢圓截得的線段長為，已知點是橢圓上的一個動點．

⑴求橢圓與橢圓的方程；
⑵設點為橢圓的左頂點，點為橢圓的下頂點，若直線剛好平分，求點的坐標；
⑶若點在橢圓上，點滿足，則直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）,（2），（3）.

試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數法.關鍵是找全所需條件. 橢圓中三個未知數的確定只需兩個獨立條件，根據橢圓的長軸長為得，又由橢圓的左準線得，所以，，，就可得到橢圓的標準方程；由橢圓與橢圓離心率相同，得再由橢圓過點，代入可得橢圓（2）涉及弦中點問題,一般用“點差法”構造等量關系.本題較簡單,可直接求出中點坐標,再利用直線與橢圓聯立方程組求交點坐標;（3）求定值問題,一是確定定值,這可利用特殊情況給于確定,二是參數選擇,不僅要揭示問題本質,更要易于消元,特別是整體消元.本題研究的是直線與直線的斜率之積,即它們坐標滿足為定值,參數選為點的坐標,利用點的坐標滿足進行整體消元.
試題解析：⑴設橢圓方程為，橢圓方程為，
則，∴，又其左準線，∴，則
∴橢圓方程為，其離心率為，                            3分
∴橢圓中，由線段的長為，得,代入橢圓，
得，∴，橢圓方程為；                        6分
⑵，則中點為，∴直線為，   7分
由，得或，
∴點的坐標為；                      10分
⑶設，，則，，
由題意，∴               12分
∴
            14分
∴，∴，即，
∴直線與直線的斜率之積為定值，且定值為．             16分