Question

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)， 的周長(zhǎng)為8，且面積最大時(shí)，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓上.

Answer 1

(1) (2)證明過程詳見解析

試題分析：
(1)利用橢圓的定義,可以得到三角形ABF₂的周長(zhǎng)即為2a,則可以得到a的值,由橢圓的對(duì)稱性,可以得到為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)A點(diǎn)在橢圓的短軸端點(diǎn),此時(shí),則可得到c的值,再根據(jù)a,c,b之間的關(guān)系可得到b的值,進(jìn)而得到橢圓E的方程.
(2)據(jù)題意,直線l與橢圓E相切于點(diǎn)P.設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),利用直線與橢圓相切,聯(lián)立橢圓與直線的方程,判別式為0,即可用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示直線l的斜率,即得到直線l關(guān)于P坐標(biāo)的表達(dá)式.聯(lián)立直線l與直線x=4即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),把P,Q的坐標(biāo)帶入內(nèi)積式,證得即可.
試題解析：
(1)由題得,因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在橢圓上,所以根據(jù)橢圓的定義有且,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035521311566.png" style="vertical-align:middle;" /> 的周長(zhǎng)為8,所以
, 因?yàn)闄E圓是關(guān)于x,y,原點(diǎn)對(duì)稱的,所以為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)為橢圓的短軸定點(diǎn),則,,故橢圓E的方程為.
(2)由題得,動(dòng)直線l為橢圓的切線,故不妨設(shè)切點(diǎn),因?yàn)橹本�l的斜率是存在且為,所以,則直線,聯(lián)立直線l與橢圓E的方程得 ,.則直線l的方程為,聯(lián)立直線l與直線得到點(diǎn),則
,所以,即點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上.