Question

已知橢圓：，直線交橢圓于兩點.

（Ⅰ）求橢圓的焦點坐標及長軸長；

（Ⅱ）求以線段為直徑的圓的方程.

 

Answer 1

（Ⅰ）焦點坐標，，長軸長；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將橢圓方程變形為標準方程，即可知的值，根據可求，即可求出焦點坐標及長軸長。（Ⅱ）將直線和橢圓方程聯立，消去得關于的一元二次方程，可求出兩根，即為兩交點的橫坐標，分別代入直線方程可得交點的縱坐標。用中點坐標公式可求中點即圓心的坐標，再用兩點間距離公式可求半徑。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）原方程等價于.

由方程可知：，，，. 3分

所以 橢圓的焦點坐標為，，長軸長為. 5分

（Ⅱ）由可得:.

解得：或.

所以 點的坐標分別為，. 7分

所以 中點坐標為，. 9分

所以 以線段為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為.

所以 以線段為直徑的圓的方程為. 11分

考點：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓的相交弦問題；3、求圓的方程。