Question

已知函數f（x）=alnx-4x，g（x）=-x²-3．
（Ⅰ）求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數，可得切線斜率，求出切點坐標，即可求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）h（x）=alnx+x²-4x+3，求導數，分類討論，確定單調性，即可求實數a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx-4x，
∴f′（x）=

a

x

-4，…（1分）
∴f′（1）=a-4，…（2分）
故切線方程為y=（a-4）x-a；                           …（4分）
（Ⅱ）h（x）=alnx+x²-4x+3，
∴h′（x）=

2x2-4x+a

x

，…（5分）
①若△=16-8a≤0，即a≥2，則h′（x）≥0，
則h（x）在（1，+∞）上單調遞增，又h（1）=0，不符舍去．       …（7分）
②若△＞0，則a＜2，
令h′（x）＞0得x＞1+

4-2a

2

，令h′（x）＜0得0＜x＜1+

4-2a

2

，
則h（x）在（0，1+

4-2a

2

）上單調遞減，在（1+

4-2a

2

，+∞）單調遞增，…（9分）
又h（1）=0，則必有h（e）＜0，…（10分）
即a+e²-4e+3＜0，
∴a＜-e²+4e-3．                                     …（12分）

點評：本題主要考查了函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．