Question

【題目】如圖，在直角中，，，，、分別是、上一點，且滿足平分，，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且平面平面.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）在直角中，連接交于點，利用等腰三角形三線合一的性質可得出，則在三棱錐中，可得出，，可推導出平面，進而可得出；

（2）推導出平面，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進而可求得其正弦值.

（1）在直角中，連接交于點，如下圖所示：

，，且，，

平分，，則有，，

在三棱錐中，，，

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，在三棱錐中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

，、、兩兩垂直，

以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則、、，

，，

設平面的一個法向量為，

由，得，可得，

令，則，，可得.

易知平面的一個法向量為，所以，，

設二面角的平面角為，則.

因此，二面角的正弦值為.