Question

△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的長．

Answer 1

分析：根據正弦定理得

b

sinB

=

a+c

sinA+sinC

，結合已經條件算出sin2C+sinC=2sin3C，利用兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡整理，得8cos²C-2cosC-3=0，解出銳角C的余弦值為

3

4

．最后利用余弦定理建立關系式，結合a+c=8即可解出邊a、c的長．

解答：解：根據正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得

b

sinB

=

a+c

sinA+sinC

∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，
∴

4

sin(π-3C)

=

8

sin2C+sinC

，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C
∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）
∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）]
結合sinC＞0，化簡整理得：8cos²C-2cosC-3=0，
解之得cosC=

3

4

或cosC=-

1

2

∵∠A＞∠B＞∠C，得C為銳角，
∴cosC=-

1

2

不符合題意，舍去
根據余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

4

，
∴

a2+42-(8-a)2

2×a×4

=

3

4

，解之得a=

24

5

，c=8-a=

16

5

綜上，a、c的長分別為

24

5

、

16

5

．

點評：本題給出△ABC的最大角等于最小角的2倍，最大邊與最小邊之和等于第三邊的2倍，求邊a、c的長．著重考查了三角恒等變換和利用正余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題．