Question

【題目】已知f（x）=x2+bx+c為偶函數，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實數a的取值范圍；
（2）若當x=﹣1時函數y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2+bx+c為偶函數，故f（﹣x）=f（x）即有

（﹣x）2+b（﹣x）+c=x2+bx+c解得b=0

又曲線y=f（x）過點（2，5），得22+c=5，有c=1

∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a從而g′（x）=3x2+2ax+1，

∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，故有g′（x）=0有實數解．即3x2+2ax+1=0有實數解．

此時有△=4a2﹣12≥0解得

a∈（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）所以實數a的取值范圍：a∈（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

（2）解：因x=﹣1時函數y=g（x）取得極值，故有g′（﹣1）=0即3﹣2a+1=0，解得a=2

又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=﹣1，x2=

當x∈（﹣∞，﹣1）時，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上為增函數

當 時，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣ ）上為減函數

當x∈（﹣ ）時，g′（x）＞0，故g（x）在 上為增函數

【解析】（1）據偶函數的定義f（﹣x）=f（x）求出b值，將點（2，5）代入得c值，據導數在切點處的導數值為切線斜率，

有g′（x）=0有實數解，由△≥0得范圍．（2），函數在極值點處的導數值為0，導數大于0對應區間是單調遞增區間；導數小于0對應區間是單調遞減區間．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解導數的幾何意義的相關知識，掌握通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．