Question

【題目】已知函數在區間上的最大值為4，最小值為1．

（1）求實數、的值；

（2）記，若在上是單調函數，求實數的取值范圍；

（3）對于函數，用，1，2，，，將區間任意劃分成個小區間，若存在常數，使得和式對任意的劃分恒成立，則稱函數為上的有界變差函數．記，試判斷函數是否為在上的有界變差函數？若是，求的最小值；若不是，請說明理由．

（參考公式：

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）是，6.

【解析】

（1）由已知中在區間的最大值為4，最小值為1，結合函數的單調性及最值，構造出關于，的方程組，解得，的值；

（2）由的解析式可得的解析式，討論的符號結合對勾函數的圖象和單調性可得的范圍；

（3）根據有界變差函數的定義，我們先將區間進行劃分，進而判斷是否恒成立，進而得到結論．

（1）函數，因為，

所以在區間上是增函數，

又函數故在區間，上的最大值為4，最小值為1，

，即，

解得，；

（2）由已知可得，

，

若在上是單調函數，

若，即，由兩個增函數的和還是增函數，易得函數在遞增；

若，函數為對勾函數，結合圖象可知：在遞增；

或，解得：或.

綜上所述：或.

（3）函數為上的有界變差函數．

因為函數為遞增，遞減，上的單調遞增函數，

且對任意劃分，

有

恒成立，①

且對任意劃分，

有，

恒成立，②

且對任意劃分，

有，

恒成立，③

由①②③可得，

存在常數，使得恒成立，的最小值為6．