Question

【題目】若函數f（x）在其圖像上存在不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），其坐標滿足條件：|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值為0，則稱f（x）為“柯西函數”， 則下列函數：
①f（x）=x+ （x＞0）；
②f（x）=lnx（0＜x＜3）；
③f（x）=2sinx；
④f（x）= ．
其中為“柯西函數”的個數為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由柯西不等式得：對任意實數x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， |x1x2+y1y2|﹣ ≤0恒成立（當且僅當存在實數k，使得x1=kx2 ， y1=ky2取等號），若函數f（x）在其圖像上存在不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），其坐標滿足條件：|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值為0，則函數f（x）在其圖像上存在不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），使得 共線，即存在點A、B與點O共線； 對于①，f（x）=x+ （x＞0）存在；
對于②，f（x）=lnx （0＜x＜3）不存在；
對于③，f（x）=2sinx存在；
對于④，f（x）= 存在．
故選：C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．