Question

【題目】已知函數f（x）=2x3+bx2+cx，其導函數y=f′（x）的圖象（如圖所示）經過點（1，0），（2，0）． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0恰有2個根，求m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，可得f'（x）=6x2+2bx+c=0的解為x=1，x=2， 故 解得
所以f（x）=2x3﹣9x2+12x．
（Ⅱ）f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），
當f'（x）＞0時，x＜1或x＞2；
當f'（x）＜0時，1＜x＜2．
所以函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，1）和（2，+∞），單調減區間為（1，2），
當x=1時，f（x）極大=5，當x=2時，f（x）極小=4．
故方程f（x）﹣m=0恰有2個根，得m=4或m=5
【解析】（Ⅰ）根據圖象可得得f'（x）=6x2+2bx+c=0的解為x=1，x=2，根據根與系數的關系，聯立方程組求解即可；（Ⅱ）根據導數求出函數的單調區間，求出相應函數值，即可求實數m的值．
【考點精析】利用基本求導法則和利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．