Question

【題目】已知函數 ,其中 (為自然對數的底數).

（Ⅰ）討論函數的單調性,并寫出相應的單調區間；

（Ⅱ）設,若函數對任意都成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】(I)見解析 (II) .

【解析】試題分析: (I)求出,對和分別討論單調性,求出單調區間; (II)先對參數和時分別討論,利用特殊值檢驗不能恒成立,在時，由函數 對任意 都成立，得,即, ,構造關于a的新函數,求導判斷單調性求出最大值,即的最大值.

試題解析:(I)因為 ，

①當 時， 在恒成立，函數 在上單調遞增；

②當 時，由得 ，

所以當 時 ，此時 單調遞減；

當 時，此時單調遞增.

綜上，當時，函數的單調遞增區間為 ；

當時，函數的單調遞增區間為 ；

單調遞減區間為 .

(II) 由(I)知，當 時，函數在R上單調遞增且 時， .

所以 不可能恒成立；

當 時， ；

當時，由函數 對任意 都成立，得 .

因為 ，

所以 .

所以 ，

設

所以，

由于 ，令 ，得.

當時， ， 單調遞增；

當)時， ， 單調遞減.

所以，即， 時， 的最大值為.