Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=a，an+1= （n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）猜測數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由an+1= ，可得a2= = ，a3= = = ，

a4= = =

（2）

解：猜測an= （n∈N*）．

下面用數學歸納法證明：

①當n=1時，左邊=a1=a，

右邊= =a，猜測成立．

②假設當n=k（k∈N*）時猜測成立，

即ak= ．

則當n=k+1時，ak+1= =

= = ．

故當n=k+1時，猜測也成立．

由①，②可知，對任意n∈N*都有an= 成立

【解析】（1）由an+1= ，可求a2 ， a3 ， a4；（2）猜測an= （n∈N*），再用數學歸納法證明．
【考點精析】利用數列的通項公式和數學歸納法的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．