Question

【題目】已知函數

（1）當時，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）求證：對于任意的正整數，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）求出的導數，兩次求導，分三種情況討論，當時，當時，當時，分別求出單調區間，求得最小值，即可得到的范圍；（2）對要證的不等式等價變形，可得①，且②，運用（1）中的結論，對①相當于（1）中， 對②相當于（1）中，利用單調性即可得證．

（1）由，得

，則，

①當時， ，則在上遞增，

∴，∴在上遞增，

∴，∴

②當時，，則在上遞減，

∴，∴在上遞減，

∴，且僅有，

∴時，不等式不恒成立，

③當時，令，

當時，，

∴在上遞減，從而，

∴在上遞增，即，且僅有，

∴時，不等式不恒成立，

綜上，的取值范圍為：．

（2）要證對，不等式恒成立，

即證，

即證，

即證①，且②，

對①相當于（1）中，有在上遞減，

即而且僅有，取，有成立，

對②相當于（1）中，有，而且僅有，

取，有成立，

∴對，不等式恒成立．