Question

【題目】已知拋物線（）經過點，直線與拋物線有兩個不同的交點、，直線交軸于，直線交軸于.

(1)若直線過點，求直線的斜率的取值范圍；

(2)若直線過點，設，，，求的值；

(3)若直線過拋物線的焦點，交軸于點，，，求的值.

Answer 1

【答案】(1)且且；(2)；(3).

【解析】

(1)由題意易得直線斜率存在且不為，且直線、斜率存在，設出直線方程，并聯立拋物線方程，根據交點有兩個，得出，解不等式即可得直線斜率的范圍.

(2)根據，，得出、與點坐標之間的關系，再根據在同一直線上，在同一直線上，得出,與點坐標之間的關系，根據（1）中聯立所得的方程得出點橫坐標之間的關系，對原式進行化簡，即可得的值.

(3) 設直線的方程為：聯立直線與拋物線的方程得出點縱坐標之間的關系，再由，，得出、與點坐標之間的關系，對化簡可求得的值.

（1）因為拋物線經過點，所以，所以，所以拋物線的解析式為。

又因為直線過點，且直線與拋物線有兩個不同的交點，易知直線斜率存在且不為，故可設直線的方程式為.

根據題意可知直線不能過點，所以直線的斜率.

若直線與拋物線的一個交點為，此時該點與點所在的直線斜率不存在，則該直線與軸無交點，與題目條件矛盾，

此時，所以直線斜率.

聯立方程,得，

因為直線與拋物線有兩個不同的交點，所以，所以。

故直線的斜率的取值范圍是且且.

（2）設點，，則，，

因為，所以，故，由得，

設，，直線的方程為，

令，得①，由直線可得②，

因為③，將①②代入③可得，

，

又由根與系數的關系：，，

所以，

所以.

（3）設直線的方程為：由，得，設，，

則，∵，，，，

∴，，∴，

.