Question

如圖，直三棱柱中， ，，是的中點，△是等腰三角形，為的中點，為上一點．

（1）若∥平面，求；
（2）求直線和平面所成角的余弦值．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、線面角、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，取BC中點，由中位線及平行線間的傳遞性，得到∥∥，即四點共面，利用線面平行的性質，得∥，從而得到E是CN中點，從而得到的值；第二問，連結，利用直三棱柱，得平面，利用線面垂直的性質得，從而得到為矩形且，所以，利用線面垂直得到線線垂直，2個線線垂直得到線面垂直，由于是攝影，所以為線面角，在中解出的值.
試題解析：『法一』(1)取中點為，連結，   1分
∵分別為中點
∴∥∥，
∴四點共面，               3分
且平面平面
又平面，
且∥平面
∴∥ 
∵為的中點，∴是的中點，                  5分
∴．                                           6分

（2）連結，                                         7分
因為三棱柱為直三棱柱，∴平面
∴，即四邊形為矩形，且
∵是的中點，∴，
又平面，
∴，從而平面                   9分
∴是在平面內的射影
∴與平面所成的角為∠
又∥，
∴直線和平面所成的角即與平面所成的角10分
設，且三角形是等腰三角形
∴，則，
∴                         
∴直線和平面所成的角的余弦值為．        12分
『法二』（1）因為三棱柱為直三棱柱，
∴平面，又
∴以為坐標原點，分別以
所在直線為軸，
建立如圖空間直角坐標系．     1分

設，又三角形是
等腰三角形，所以
易得，，，
所以有， 
設平面的一個法向量為，則有，即  
，令，有                    4分
（也可直接證明為平面法向量）
設，，又，
∴
若∥平面，則，所以有，
解得，∴                                 6分
（2）由（1）可知平面的一個法向量是，
，，求得
設直線和平面所成的角為，，
則，                    11分
所以
∴直線和平面所成的角的余弦值為．         12分