Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，E是PA的中點.

（1）求證：平面平面EBD；
（2）若PA=AB=2，求三棱錐P-EBD的高.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、面面垂直、等體積法等基礎知識，考查空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，利用線面垂直的性質得PA⊥BD，又因為BD⊥PC，利用線面垂直的判定得到BD⊥平面PAC，最后利用面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面EBD；第二問，由于BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以ABCD是菱形，可求出的面積，由于BD⊥平面PAC，所以BD⊥OE，所以可求出的面積，用等體積法求出三棱錐P-EBD的體積，通過列出的等式解出高的值.
試題解析：（1）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，
因為BDÌ平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD．     5分

（2）由（1）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，∠BAD＝120°．
所以．         7分
設AC∩BD＝O，連結OE，則（1）可知，BD⊥OE．
所以．          9分
設三棱錐P-EBD的高為h，則
，即，解得． 12分