Question

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，是中點，為上一點．
（1）求證：平面；
（2）當為何值時，二面角為．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）再由等腰三角形中線即為高線可得，由平面可得，由為矩形可得，根據線面垂直的判定定理可得平面，從而可得。再由等腰三角形中線即為高線可得，由線面垂直的判定定理可證得平面。（2）（空間向量法）以以為坐標原點，、、所在直線為，，軸建立空間直角坐標系。設。可得各點的坐標，從而可得個向量的坐標，根據向量垂直數量積為0先兩個面的法向量.因為兩法向量所成的角與二面角相等或互補，所以兩法向量夾角的余弦值的絕對值等于。從而可得的值。
證明⑴ 因為平面，平面，
所以，因為是矩形，所以．因為，所以平面，
因為平面，所以，
因為，是中點，所以，
因為 所以平面．
⑵
解：因為平面，，
所以以為坐標原點，、、所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設，
則，，，．
所以，．
設平面的法向量為，則所以
令，得，，
所以．
平面的法向量為．
所以．
所以．
所以當時，二面角為．