Question

【題目】（本小題滿分12分，（1）小問5分，（2）小問7分）

如圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且

（1）若，求橢圓的標準方程

（2）若求橢圓的離心率

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題解析：（1）本題中已知橢圓上的一點到兩焦點的距離，因此由橢圓定義可得長軸長，即參數的值，而由，應用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求橢圓的離心率，就是要找到關于的一個等式，題中涉及到焦點距離，因此我們仍然應用橢圓定義，設，則，，于是有，這樣在中求得，在中可建立關于的等式，從而求得離心率.

（1）由橢圓的定義，

設橢圓的半焦距為c，由已知，因此

即

從而

故所求橢圓的標準方程為.

（2）解法一：如圖（21）圖，設點P在橢圓上，且，則

求得

由,得,從而

由橢圓的定義，,從而由，有

又由，知，因此

于是

解得.

解法二：如圖由橢圓的定義，,從而由，有

又由，知，因此,

,從而

由,知，因此