Question

如圖，在平面直角坐標系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于、兩點，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點．設直線的斜率為．

（Ⅰ）當直線平分線段時，求的值；
（Ⅱ）當時，求點到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）求出點、的中點坐標，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直線的方程，再用點到直線的距離公式可求得點到直線的距離；
（Ⅲ）思路一:圓錐曲線題型的一個基本處理方法是設而不求,其核心是利用 ----(*).要證明,只需證明它們的斜率之積為-1. 但直接求它們的積,不好用(*)式,此時需要考慮轉化.
思路二:設,然后用表示出的坐標.這種方法要注意直線的方程應設為: ,若用點斜式,則運算量大為增加.
此類題極易在運算上出錯,需倍加小心.
試題解析：（Ⅰ）由題設知: ,所以線段的中點為,
由于直線平分線段,故直線過線段的中點,又直線過坐標原點,
所以
（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓方程得: ,因此
于是,由此得直線的方程為:
所以點到直線即的距離
（Ⅲ）法一:設,則
由題意得:
設直線的斜率分別為,因為在直線上,所以
從而,所以:

法二:
所以直線的方程為:  代入橢圓方程得:

由韋達定理得:
所以
,所以