Question

13．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且關于x的方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1．
（1）求出S₁，S₂，S₃；
（2）猜想{S_n}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由題設求出S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{2}{3}$．S₃=$\frac{3}{4}$．
（2）由此猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，n=1，2，3，…．然后用數學歸納法證明這個結論．

解答 解：（1）當n=1時，x²-a₁x-a₁=0有一根為S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當n=2時，x²-a₂x-a₂=0有一根為S₂-1=a₂-$\frac{1}{2}$，
于是（a₂-$\frac{1}{2}$）²-a₂（a₂-$\frac{1}{2}$）-a₂=0，
解得a₂=$\frac{1}{6}$
由題設（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
得S₁=a₁=$\frac{1}{2}$，S₂=a₁+a₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．
由①可得S₃=$\frac{3}{4}$．
（2）由（1）猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，n=1，2，3，…．
下面用數學歸納法證明這個結論．
（i）n=1時已知結論成立．
（ii）假設n=k時結論成立，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
當n=k+1時，由①得S_k+1=$\frac{1}{2-{S}_{k}}$，可得S_k+1=$\frac{k+1}{k+2}$，故n=k+1時結論也成立．
綜上，由（i）、（ii）可知S_n=$\frac{n}{n+1}$對所有正整數n都成立．

點評 本題考查數列的綜合應用，數學歸納法的應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．