Question

3．已知函數f（x）=$\sqrt{x}$；
（1）求函數f（x）圖象在x=1處切線l的方程；
（2）求由曲線y=$\sqrt{x}$，直線l及y軸圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）求出交點坐標，根據定積分計算即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，f（1）=1，f′（1）=$\frac{1}{2}$，
故切線方程是：y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），
即$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x+1）}\\{y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
故直線l及y軸圍成圖形的面積：
S=${∫}_{0}^{1}$[（$\frac{1}{2}$（x+1）-$\sqrt{x}$]dx
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$x²+x+c）${|}_{0}^{1}$-$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{1}$
=$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查導數的應用以及定積分問題，是一道中檔題．